?

Log in

No account? Create an account

Предыдущий пост | Следующий пост

Пару дней назад, говоря о математике и том, что понимать ее не является для живого человека лишним, всплыл вопрос о производной. И потому не будет лишним немного о ней поговорить. Высшую математику курсантом я не любил. Интерес проявился к ней только во времена получения второго высшего, после того, как понадобились не загогулины и исписанные цифрами листы, а – физический смысл и результат. Что характерно, второе образование было сугубо гуманитарным. А – понадобилось и понял. А со временем потихоньку и полюбил.



В математическом анализе книг – больше, чем можно представить. Но главное, что стоит понимать: весь он стоит на двух столпах – производной и интеграле. Производная позволяет понять скорость изменений «чего-то», а интеграл – сколько это «что-то» накапливает. Все! Вот и весь математический анализ. Все остальное в учебниках о нем – комментарии к одному этому предложению.

Производная в реальной жизни везде. Потому как вся реальная жизнь это одни сплошные изменения. Скорость – как производная от расстояния, позволяет понять, как быстро мы перемещаемся из одной точки в другую, а ускорение как производная от скорости – это понимание динамики темпа нашего движения (мы набираем скорость или тормозим?). Но и угол наклона лестничного пролета тоже производная: более крутой подъем позволяет вам перемещаться вверх за единицу времени (шаг) быстрее в сравнении с пролетом более пологим.

Когда-то, в курсантские еще времена, весной я шел в один населенный пункт в Беларуси. Пешком, потому как денег не было вообще. И расстояние километров так в шесть я решил сократить, срезая часть пути по полю. Знал бы я тогда, что вязкая тающая пахотная земля – это болото почти… И, срезая, ты теряешь в скорости и удобстве перемещения. Но – если тебе необходимо попасть куда-то в схожих условиях в определенный срок? Или – в кратчайшее время. Тогда этот пример – показательный для понимания физического смысла применения производной именно как отношения приращения функции к приращению аргумента. Смотрите на картинку:



Необходимо из точки А (левый верхний угол прямоугольника) попасть в В (правый нижний) максимально и есть два принципиальных варианта: а) идти по дороге (красная стрелка) – аккурат по границам прямоугольника; б) срезать через поле, состоящее из покрытия двух типов – вязкая вспаханная земля и – сухая, по которой идти примерно так же удобно, как и по дороге.

Зная скорость движения по покрытию разного типа, нам ничего не стоит рассчитать время, которое понадобится, чтобы попасть в точку В по дороге. Если же мы решаем срезать, то необходимо понять, как: под каким углом проходить вязкую землю (мы там теряем скорость, а кроме того – расстояние, которое нам потом идти по сухой земле, тоже имеет значение)?! Потому как именно это – принципиальный момент. И если на расстояния и скорость своего движения (следование неизменным условиям – это общее слабое место всех алгебраических задач) мы влиять не можем, то выбрать угол прохождения вязкой земли (длину х или х1) – то единственное, что решаем именно мы.

Значение х легко определяется теоремой Пифагора, а общее время в пути – умножением расстояния на скорость движения. То есть, общее время – функция от х. Построив простейший график которой, увидим, что самая нижняя точка в нем – это и есть то самое значение х, которое обеспечит минимальное время всего маршрута. Но самую нижнюю точку функции можно найти и просто взяв производную от общего времени по х, приравняв ее к нулю.

Простейшая задача прохождения поля, требующая знания алгебры, геометрии и умения брать производные?! И оно того стоит?! Для похода по полю – трудно сказать, но для любознательного человека – абсолютно и безоговорочно стоит. Потому как добавив в нашу жизнь еще немного физики, увидим: самый быстрый путь подчиняется соотношению, известному как «закон Снеллиуса» (или – Снелла).



Этот закон описывает преломление света на границе двух сред – при переходе из воздуха в воду или в стекло, например. Банально, но в воде/стекле свет движется медленнее, чем в воздухе и отклоняется точно таким же образом, как курсант в непаханом поле. Причем курсант продвинутый и рассчитавший маршрут оптимальный. И вот отсюда возникает познавательный вопрос, никак не предсказываемый начатым рассказом о физическом смысле производной: откуда свет знает этот самый оптимальный маршрут?! Он что, вычисляет его? Или – следует всеми возможными путями, под влиянием каких-то неведомых сил концентрируясь на кратчайшем?! А если последнее, то – как эти силы действуют?

Профессор Фейнман (тот самый, из книжки «Вы, конечно, шутите…») на этом простом случае выстроил удивительное предположение о том, что природа действительно пробует все возможные пути. Однако почти все они компенсируют друг друга неким аналогом разрушительных помех (на уровне квантов еще), за исключением значений, относительно близких к пути классическому. Пути, где действия сведены к минимуму или к стационарным значениям (определяемых постоянными, если опять таки вернуться к уровню действия постоянной Планка). Тогда интерференция конструктивна и определяет путь.

Грубо говоря, оптимальный путь может быть и подсказан, если человек не перегружен «субъективными вИдениями» (а особенно – собственными ограничениями, запретами или страхами). Как говорится в народе русском – «дал Бог зайку, даст и лужайку». И вот вам научное этого постулата доказательство со скучными примером. А еще - путь определяется как исходным положением, так и – решением о смене вектора движения. Но после принятого решения и поворота в ключевой точке уже невозможно теоретическое «бесконечное количество вариантов».

Собственно, для того, чтобы находить такие интересные точки зрения, я и повторяю математику. И применять, да. Применять, это тоже важно.
Подписаться на Telegram канал kamnevn
Подпишитесь на мой канал в Telegram "Камнев пишет..." - нечастые, но интересные обновления!
promo kamnevn february 20, 2017 14:15 4
Buy for 500 tokens
Telegram - это мессенджер. Но он же и медиа-событие прошлого года, оказавшее существенное влияние на информационное пространство в рунете всего за несколько месяцев. Получать прямо в свой мобильный полноценные тексты, мемы или ссылки на публикации - это удобно. И прижилось. Кроме того, совершенно…

Комментарии

( 2 комментария — Оставить комментарий )
livejournal
17 янв, 2015 21:29 (UTC)
Здравствуйте! Ваша запись попала в топ-25 популярных записей LiveJournal северного региона. Подробнее о рейтинге читайте в Справке.
a_pk
18 янв, 2015 16:43 (UTC)
В плане теоретического разбора примера с обходом поля и графически - все верно.Однако если усложнить условия и ввести заданное время прибытия, то затратив больше энергии (увеличив скорость) можно получить другой результат.
В этом случае придется анализировать не только скорость, условия покрытия и расстояние, но и затраченную энергию. Конечно можно красиво и изящно описать все процессы математически, но на практике опыт и интуиция имеют не маловажное значение. ( хотя опыт, это производная от первоначальных знаний и умений, накопленный за отрезок времени :) )
( 2 комментария — Оставить комментарий )

Календарь

Ноябрь 2019
Вс Пн Вт Ср Чт Пт Сб
     12
3456789
10111213141516
17181920212223
24252627282930
Разработано LiveJournal.com
Дизайн yoksel